POJ 1664 — 放苹果

题目大意

把M个同样的苹果放在N个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放，问共有多少种不同的分法？（用K表示）5，1，1和1，5，1 是同一种分法。

题目链接

http://poj.org/problem?id=1664

输入

第一行是测试数据的数目t（0 <= t <= 20）。以下每行均包含二个整数M和N，以空格分开。1<=M，N<=10。

输出

对输入的每组数据M和N，用一行输出相应的K。

样例输入

1
7 3

样例输出

8

问题分析

假设i个苹果🍎放进k个盘子的分法个数为 f(i,k)。

i<k 时，至少有k-i个盘子为空，问题转化为i个苹果放进i个盘子，因此 f(i,k) = f(i,i) ；

i==k 时，分为有空盘子和无空盘子两种情况，有空盘子相当于至少有一个空盘子，为 f(i,k-1)；无空盘子只能一个盘子放一个苹果，为1；因此 f(i,k) = f(i,k-1) + 1；

i>k时，分为有空盘子和无空盘子两种情况，有空盘子相当于至少有一个空盘子，为 f(i,k-1)；无空盘子则每个盘子至少放一个苹果，相当于扔掉k个苹果，为 f(i-k,k)；因此 f(i,k) = f(i,k-1) + f(i-k,k)；

递归的出口是 i ==1 或 k ==1.

AC代码

#include <iostream>
using namespace std;

int f(int i, int k); //i个苹果放入k个盘子

int main()
{
    int t, m, n;
    cin >> t;
    while (t--)
    {
        cin >> m >> n;
        cout << f(m, n) << endl;
    }
    return 0;
}

int f(int i, int k)
{
    if (i == 1 || k == 1)
        return 1;
    if (i < k)
        return f(i, i);
    if (i == k)
        return f(i, k - 1) + 1; //有空盘子，无空盘子
    if (i > k)
        return f(i, k - 1) + f(i - k, k); //有空盘子，无空盘子
}

注意事项

这道题也可以改写成递推，将题目范围内的所有答案都计算出来，存入数组中，更节省时间。